Динамика является одним из важных разделов физики, который изучает причины движения тел в пространстве. В данной статье рассмотрим с точки зрения теории одну из типичных задач динамики — движение тела по наклонной плоскости, а также приведем примеры решений некоторых практических проблем.
Основная формула динамики
Прежде чем переходить к изучению физики движения тела по плоскости наклонной, приведем необходимые теоретические сведения для решения этой задачи.
В XVII Исаак Ньютон благодаря практическим наблюдениям за движением макроскопических окружающих тел вывел три закона, носящих в настоящее время его фамилию. На этих законах зиждется вся классическая механика. Нас интересует в данной статье лишь второй закон. Его математический вид приведен ниже:
Формула говорит о том, что действие внешней силы F¯ придаст ускорение a¯ телу массой m. Это простое выражение будем далее использовать для решения задач движения тела по плоскости наклонной.
Отметим, что сила и ускорение — это величины векторные, направленные в одну и ту же сторону. Кроме того, сила — это аддитивная характеристика, то есть в приведенной формуле F¯ можно рассматривать как результирующее воздействие на тело.
Наклонная плоскость и силы, действующие на тело, находящееся на ней
Ключевым моментом, от которого зависит успех решения задач движения тела по плоскости наклонной, является определение действующих на тело сил. Под определением сил понимают знание их модулей и направлений действия.
Ниже дан рисунок, где показано, что тело (автомобиль) находится в покое на наклоненной под углом к горизонту плоскости. Какие силы на него действуют?
Список ниже перечисляет эти силы:
- тяжести;
- реакции опоры;
- трения;
- натяжения нити (если присутствует).
Сила тяжести
В первую очередь это сила тяжести (F g). Она направлена вертикально вниз. Поскольку тело имеет возможность двигаться только вдоль поверхности плоскости, то при решении задач силу тяжести разлагают на две взаимно перпендикулярные составляющие. Одна из составляющих направлена вдоль плоскости, другая — перпендикулярна ей. Только первая из них приводит к появлению у тела ускорения и, по сути, является единственным движущим фактором для рассматриваемого тела. Вторая составляющая обуславливает возникновение силы реакции опоры.
Реакция опоры
Второй действующей на тело силой является реакция опоры (N). Причина ее появления связана с третьим законом Ньютона. Величина N показывает, с какой силой плоскость воздействует на тело. Она направлена вверх перпендикулярно плоскости наклонной. Если бы тело находилось на горизонтальной поверхности, то N равнялась бы его весу. В рассматриваемом же случае N равна лишь второй составляющей, полученной при разложении силы тяжести (см. абзац выше).
Реакция опоры не оказывает прямого воздействия на характер движения тела, поскольку она перпендикулярна плоскости наклона. Тем не менее она обуславливает появление трения между телом и поверхностью плоскости.
Сила трения
Третьей силой, которую следует учитывать при исследовании движения тела по наклонной плоскости, является трение (F f). Физическая природа трения является непростой. Ее появление связано с микроскопическими взаимодействиями соприкасающихся тел, имеющих неоднородные поверхности контакта. Выделяют три вида этой силы:
- покоя;
- скольжения;
- качения.
Трение покоя и скольжения описываются одной и той же формулой:
где µ — это безразмерный коэффициент, значение которого определяется материалами трущихся тел. Так, при трении скольжения дерева о дерево µ = 0,4, а льда о лед — 0,03. Коэффициент для трения покоя всегда больше такового для скольжения.
Трение качения описывается по отличной от предыдущей формуле. Она имеет вид:
Здесь r — радиус колеса, f — коэффициент, имеющий размерность обратной длины. Эта сила трения, как правило, намного меньше предыдущих. Заметим, что на ее значение влияет радиус колеса.
Сила F f , какого бы типа она ни была, всегда направлена против движения тела, то есть F f стремится остановить тело.
Натяжение нити
При решении задач движения тела по наклонной плоскости эта сила не всегда присутствует. Ее появление определяется тем, что находящееся на наклонной плоскости тело связано с помощью нерастяжимой нити с другим телом. Часто второе тело свисает на нити через блок за пределами плоскости.
На находящийся на плоскости предмет, сила натяжение нити воздействует либо ускоряя его, либо замедляя. Все зависит от модулей сил, действующих в физической системе.
Появление этой силы в задаче значительно усложняет процесс решения, поскольку приходится рассматривать одновременно движение двух тел (на плоскости и свисающего).
Задача на определение критического угла
Теперь пришло время применить описанную теорию для решения реальных задач движения по наклонной плоскости тела.
Предположим, что брус из дерева имеет массу 2 кг. Он находится на деревянной плоскости. Следует определить, при каком критическом угле наклона плоскости брус начнет по ней скользить.
Скольжение бруса наступит только тогда, когда суммарная действующая вниз вдоль плоскости сила на него окажется больше нуля. Таким образом, чтобы решить эту задачу, достаточно определить результирующую силу и найти угол, при котором она станет больше нуля. Согласно условию задачи на брус будут вдоль плоскости оказывать действие только две силы:
- составляющая силы тяжести F g1 ;
- трение покоя F f .
Чтобы началось скольжение тела, должно выполняться условие:
Отметим, что если составляющая силы тяжести превысит трение покоя, то она также будет больше силы трения скольжения, то есть начавшееся движение будет продолжаться с постоянным ускорением.
Рисунок ниже показывает направления всех действующих сил.
Обозначим критический угол символом θ. Несложно показать, что силы F g1 и F f будут равны:
F g1 = m × g × sin(θ);
F f = µ × m × g × cos(θ).
Здесь m × g — это вес тела, µ — коэффициент силы трения покоя для пары материалов дерево-дерево. Из соответствующей таблицы коэффициентов можно найти, что он равен 0,7.
Подставляем найденные величины в неравенство, получаем:
m × g × sin(θ) ≥ µ × m × g × cos(θ).
Преобразуя это равенство, приходим к условию движения тела:
tg(θ) ≥ µ =>
θ ≥ arctg(µ).
Мы получили весьма интересный результат. Оказывается, значение критического угла θ не зависит от массы тела на наклонной плоскости, а однозначно определяется коэффициентом трения покоя µ. Подставляя его значение в неравенство, получим величину критического угла:
θ ≥ arctg(0,7) ≈ 35 o .
Задача на определение ускорения при движении по наклонной плоскости тела
Теперь решим несколько иную задачу. Пусть на стеклянной наклонной плоскости находится брус из дерева. Плоскость к горизонту наклонена под углом 45 o . Следует определить, с каким ускорением будет двигаться тело, если его масса равна 1 кг.
Запишем главное уравнение динамики для этого случая. Поскольку сила F g1 будет направлена вдоль движения, а F f против него, то уравнение примет вид:
F g1 — F f = m × a.
Подставляем полученные в предыдущей задаче формулы для сил F g1 и F f , имеем:
m × g × sin(θ) — µ × m × g × cos(θ) = m × a.
Откуда получаем формулу для ускорения:
a = g × (sin(θ) — µ × cos(θ)).
Снова мы получили формулу, в которой нет массы тела. Этот факт означает, что бруски любой массы будут соскальзывать за одно и то же время по наклонной плоскости.
Учитывая, что коэффициент µ для трущихся материалов дерево-стекло равен 0,2, подставим все параметры в равенство, получим ответ:
Таким образом, методика решения задач с наклонной плоскостью заключается в определении результирующей силы, действующей на тело, и в последующем применении второго закона Ньютона.
Физика: движение тела по наклонной плоскости. Примеры решения и задачи — все интересные факты и достижения науки и образования на сайт
В. М. Зражевский
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №
СКАТЫВАНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
Цель работы: Проверка закона сохранения механической энергии при скатывании твердого тела с наклонной плоскости.
Оборудование: наклонная плоскость, электронный секундомер, цилиндры разной массы.
Теоретические сведения
Пусть цилиндр радиуса R и массой m скатывается с наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом (рис. 1). На цилиндр действуют три силы: сила тяжести P = mg , сила нормального давления плоскости на цилиндр N и сила трения цилиндра о плоскость F тр. , лежащая в этой плоскости.
Цилиндр участвует одновременно в двух видах движения: поступательном движении центра масс O и вращательном движении относительно оси, проходящей через центр масс.
Так как цилиндр во время движения остается на плоскости, то ускорение центра масс в направлении нормали к наклонной плоскости равно нулю, следовательно
P ∙cosα − N = 0. (1)
Уравнение динамики поступательного движения вдоль наклонной плоскости определяется силой трения F тр. и составляющей силы тяжести вдоль наклонной плоскости mg ∙sinα:
ma = mg ∙sinα − F тр. , (2)
где a – ускорение центра тяжести цилиндра вдоль наклонной плоскости.
Уравнение динамики вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс имеет вид
I ε = F тр. R , (3)
где I
– момент инерции, ε – угловое ускорение.
Момент силы тяжести и
относительно этой оси равен нулю.
Уравнения (2) и (3) справедливы всегда, вне зависимости от того, движется цилиндр по плоскости со скольжением или без скольжения. Но из этих уравнений нельзя определить три неизвестные величины: F тр. , a и ε, необходимо еще одно дополнительное условие.
Если сила трения имеет достаточную величину, то качение цилиндра по наклонной происходит без скольжения. Тогда точки на окружности цилиндра должны проходить ту же длину пути, что и центр масс цилиндра. В этом случае линейное ускорение a и угловое ускорение ε связаны соотношением
a = R ε. (4)
Из уравнения (4) ε = a /R . После подстановки в (3) получаем
.
(5)
Заменив в (2) F тр. на (5), получаем
.
(6)
Из последнего соотношения определяем линейное ускорение
.
(7)
Из уравнений (5) и (7) можно вычислить силу трения:
.
(8)
Сила трения зависит от угла наклона α, силы тяжести P = mg и от отношения I /mR 2 . Без силы трения качения не будет.
При качении без скольжения играет роль сила трения покоя. Сила трения при качении, как и сила трения покоя, имеет максимальное значение, равное μN . Тогда условия для качения без скольжения будут выполняться в том случае, если
F тр. ≤ μN . (9)
Учитывая (1) и (8), получим
,
(10)
или, окончательно
.
(11)
В общем случае момент инерции однородных симметричных тел вращения относительно оси, проходящей через центр масс, можно записать как
I = kmR 2 , (12)
где k = 0,5 для сплошного цилиндра (диска); k = 1 для полого тонкостенного цилиндра (обруча); k = 0,4 для сплошного шара.
После подстановки (12) в (11) получаем окончательный критерий скатывания твердого тела с наклонной плоскости без проскальзывания:
.
(13)
Поскольку при качении твердого тела по твердой поверхности сила трения качения мала, то полная механическая энергия скатывающегося тела постоянна. В начальный момент времени, когда тело находится в верхней точке наклонной плоскости на высоте h , его полная механическая энергия равна потенциальной:
W п = mgh = mgs ∙sinα, (14)
где s – путь, пройденный центром масс.
Кинетическая энергия катящегося тела складывается из кинетической энергии поступательного движения центра масс со скоростью υ и вращательного движения со скоростью ω относительно оси, проходящей через центр масс:
.
(15)
При качении без скольжения линейная и угловая скорости связаны соотношением
υ = R ω. (16)
Преобразуем выражение для кинетической энергии (15), подставив в него (16) и (12):
Движение по наклонной плоскости является равноускоренным:
.
(18)
Преобразуем (18) с учетом (4):
.
(19)
Решая совместно (17) и (19), получим окончательное выражение для кинетической энергии тела, катящегося по наклонной плоскости:
.
(20)
Описание установки и метода измерений
Исследовать качение тела по наклонной плоскости можно с помощью узла «плоскость» и электронного секундомера СЭ1, входящих в состав модульного учебного комплекса МУК-М2.
У
становка
представляет собой наклонную плоскость
1, которую с помощью винта 2 можно
устанавливать под разными углами α к
горизонту (рис. 2). Угол α измеряется с
помощью шкалы 3. На плоскость может быть
помещен цилиндр 4 массой m
.
Предусмотрено использование двух
роликов разной массы. Ролики закрепляются
в верхней точке наклонной плоскости с
помощью электромагнита 5, управление
которым осуществляется с помощью
электронного секундомера СЭ1. Пройденное цилиндром расстояние измеряется линейкой 6, закрепленной вдоль плоскости. Время скатывания цилиндра измеряется автоматически с помощью датчика 7, выключающего секундомер в момент касания роликом финишной точки.
Порядок выполнения работы
1. Ослабив винт 2 (рис. 2), установите плоскость под некоторым углом α к горизонту. Поместите ролик 4 на наклонную плоскость.
2. Переключите тумблер управления электромагнитами механического блока в положение «плоскость».
3. Переведите секундомер СЭ1 в положение режим 1.
4. Нажмите кнопку «Пуск» секундомера. Измерьте время скатывания.
5. Повторите опыт пять раз. Результаты измерений запишите в табл. 1.
6. Вычислите значение механической энергии до, и после скатывания. Сделайте вывод.
7. Повторите п. 1-6 для других углов наклона плоскости.
Таблица 1
|
t i , c |
(t i − <t >) 2 |
пути s , м |
Угол наклона |
ролика, кг |
W п, Дж |
W к, Дж |
|
|
t (a,n ) |
<t > |
å(t i – <t >) 2 |
Δs , м |
Δm , кг |
|||
8. Повторите опыт п. 1-7 для второго ролика. Результаты запишите в табл. 2, аналогичную табл. 1.
9. Сделайте выводы по всем результатам работы.
Контрольные вопросы
1. Назовите виды сил в механике.
2. Объяснить физическую природу сил трения.
3. Что называется коэффициентом трения? Его размерность?
4. Какие факторы влияют на величину коэффициента трения покоя, скольжения, качения?
5. Описать общий характер движения твердого тела при качении.
6. Как направлен момент силы трения при качении по наклонной плоскости?
7. Записать систему уравнений динамики при качении цилиндра (шара) по наклонной плоскости.
8. Вывести формулу (13).
9. Вывести формулу (20).
10. Шар и цилиндр с одинаковыми массами m и равными радиусами R одновременно начинают скатываться по наклонной плоскости с высоты h . Одновременно ли они достигнут нижней точки (h = 0)?
11. Объяснить причину торможения катящегося тела.
Библиографический список
1. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3х т. Т. 1 / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1989. – § 41–43.
2. Хайкин, С. Э. Физические основы механики / С. Э. Хайкин. – М: Наука, 1971. – § 97.
3. Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М: Высш. шк., 1990. – § 16–19.
В нашем случае F н = m·g , т.к. поверхность горизонтальна. Но, нормальная сила по величине не всегда совпадает с силой тяжести.
Нормальная сила - сила взаимодействия поверхностей соприкасающихся тел, чем она больше - тем сильнее трение.
Нормальная сила и сила трения пропорциональны друг другу:
F тр = μF н
0 < μ < 1 - коэффициент трения, который характеризует шероховатость поверхностей.
При μ=0 трение отсутствует (идеализированный случай)
При μ=1 максимальная сила трения, равна нормальной силе.
Сила трения не зависит от площади соприкосновения двух поверхностей (если их массы не изменяются).
Обратите внимание: уравнение F тр = μF н не является соотношением между векторами, поскольку они направлены в разные стороны: нормальная сила перпендикулярна поверхности, а сила трения - параллельна.
1. Разновидности трения
Трение бывает двух видов: статическое и кинетическое .
Статическое трение (трение покоя ) действует между соприкасающимися телами, находящимися в покое друг относительно друга. Статическое трение проявляется на микроскопическом уровне.
Кинетическое трение (трение скольжения ) действует между соприкасающимися и движущимися друг относительно друга телами. Кинетическое трение проявляется на макроскопическом уровне.
Статическое трение больше кинетического для одних и тех же тел, или коэффициент трения покоя больше коэффициент трения скольжения.
Наверняка вам это известно из личного опыта: шкаф очень трудно сдвинуть с места, но поддерживать движение шкафа гораздо легче. Это объясняется тем, что при движении поверхности тел "не успевают" перейти на соприкосновения на микроскопическом уровне.
Задача №1: какая сила потребуется для поднятия шара массой 1 кг по наклонной плоскости, расположенной под углом α=30° к горизонту. Коэффициент трения μ = 0,1
Вычисляем составляющую силы тяжести. Для начала нам надо узнать угол между наклонной плоскостью и вектором силы тяжести. Подобную процедуру мы уже делали, рассматривая гравитацию. Но, повторение - мать учения:)
Сила тяжести направлена вертикально вниз. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Рассмотрим треугольник, образованный тремя силами: вектором силы тяжести; наклонной плоскостью; основанием плоскости (на рисунке он выделен красным цветом).
Угол между вектором силы тяжести и основанием плоскость равен 90°.
Угол между наклонной плоскостью и ее основанием равен α
Поэтому, оставшийся угол - угол между наклонной плоскостью и вектором силы тяжести:
180° - 90° - α = 90° - α
Составляющие силы тяжести вдоль наклонной плоскости:
F g накл = F g cos(90° - α) = mgsinα
Необходимая сила для поднятия шара:
F = F g накл + F трения = mgsinα + F трения
Необходимо определить силу трения F тр . С учетом коэффициента трения покоя:
F трения = μF норм
Вычисляем нормальную силу F норм , которая равна составляющей силы тяжести, перпендикулярно направленной к наклонной плоскости. Мы уже знаем, что угол между вектором силы тяжести и наклонной плоскостью равен 90° - α.
F норм = mgsin(90° - α) = mgcosα
F = mgsinα + μmgcosα
F = 1·9,8·sin30° + 0,1·1·9,8·cos30° = 4,9 + 0,85 = 5,75 Н
Нам потребуется к шару приложить силу в 5,75 Н для того, чтобы закатить его на вершину наклонной плоскости.
Задача №2: определить как далеко прокатится шар массой m = 1 кг по горизонтальной плоскости, скатившись по наклонной плоскости длиной 10 метров при коэффициенте трения скольжения μ = 0,05
Силы, действующие на скатывающийся шар, приведены на рисунке.
Составляющая силы тяжести вдоль наклонной плоскости:
F g cos(90° - α) = mgsinα
Нормальная сила:
F н = mgsin(90° - α) = mgcos(90° - α)
Сила трения скольжения:
F трения = μF н = μmgsin(90° - α) = μmgcosα
Результирующая сила:
F = F g - F трения = mgsinα - μmgcosα
F = 1·9,8·sin30° - 0,05·1·9,8·0,87 = 4,5 Н
F = ma; a = F/m = 4,5/1 = 4,5 м/с 2
Определяем скорость шара в конце наклонной плоскости:
V 2 = 2as; V = &38730;2as = &38730;2·4,5·10 = 9,5 м/с
Шар заканчивает движение по наклонной плоскости и начинает движение по горизонтальной прямой со скоростью 9,5 м/с. Теперь в горизонтальном направлении на шар действует только сила трения, а составляющая силы тяжести равна нулю.
Суммарная сила:
F = μF н = μF g = μmg = 0,05·1·9,8 = -0,49 Н
Знак минус означает, что сила направлена в противоположную сторону от движения. Определяем ускорение замедления шара:
a = F/m = -0,49/1 = -0,49 м/с 2
Тормозной путь шара:
V 1 2 - V 0 2 = 2as; s = (V 1 2 - V 0 2)/2a
Поскольку мы определяем путь шара до полной остановки, то V 1 =0 :
s = (-V 0 2)/2a = (-9,5 2)/2·(-0,49) = 92 м
Наш шарик прокатился по прямой целых 92 метра!
Пусть небольшое тело находится на наклонной плоскости с углом наклона a (рис. 14.3,а ). Выясним: 1) чему равна сила трения, если тело скользит по наклонной плоскости; 2) чему равна сила трения, если тело лежит неподвижно; 3) при каком минимальном значении угла наклона a тело начинает соскальзывать с наклонной плоскости.
а)
б)
Сила трения будет препятствовать движению, следовательно, она будет направлена вверх по наклонной плоскости (рис. 14.3,б ). Кроме силы трения, на тело действуют еще сила тяжести и сила нормальной реакции . Введем систему координат ХОУ , как показано на рисунке, и найдем проекции всех указанных сил на координатные оси:
Х : F трХ = –F тр, N X = 0, mg X = mg sina;
Y : F трY = 0, N Y = N , mg Y = –mg cosa.
Поскольку ускоряться тело может только по наклонной плоскости, то есть вдоль оси X , то очевидно, что проекция вектора ускорения на ось Y всегда будет равна нулю: а Y = 0, а значит, сумма проекций всех сил на ось Y также должна равняться нулю:
F трY + N Y + mg Y = 0 Þ 0 + N – mg cosa = 0 Þ
N = mg cosa. (14.4)
Тогда сила трения скольжения согласно формуле (14.3) равна:
F тр.ск = mN = mmg cosa. (14.5)
Если тело покоится , то сумма проекций всех сил, действующих на тело, на ось Х должна равняться нулю:
F трХ + N Х + mg Х = 0 Þ –F тр + 0 + mg sina = 0 Þ
F тр.п = mg sina. (14.6)
Если мы будем постепенно увеличивать угол наклона, то величина mg sina будет постепенно увеличиваться, а значит, будет увеличиваться и сила трения покоя, которая всегда «автоматически подстраивается» под внешнее воздействие и компенсирует его.
Но, как мы знаем, «возможности» силы трения покоя не безграничны. При каком-то угле a 0 весь «ресурс» силы трения покоя будет исчерпан: она достигнет своего максимального значения, равного силе трения скольжения. Тогда будет справедливо равенство:
F тр.ск = mg sina 0 .
Подставив в это равенство значение F тр.ск из формулы (14.5), получим: mmg cosa 0 = mg sina 0 .
Разделив обе части последнего равенства на mg cosa 0 , получим:
Þ 
a 0 = arctgm.
Итак, угол a, при котором начинается скольжение тела по наклонной плоскости, задается формулой:
a 0 = arctgm. (14.7)
Заметим, что если a = a 0 , то тело может или лежать неподвижно (если к нему не прикасаться), или скользить с постоянной скоростью вниз по наклонной плоскости (если его чуть-чуть толкнуть). Если a < a 0 , то тело «стабильно» неподвижно, и легкий толчок не произведет на него никакого «впечатления». А если a > a 0 , то тело будет соскальзывать с наклонной плоскости с ускорением и безо всяких толчков.
Задача 14.1. Человек везет двое связанных между собой саней (рис. 14.4,а ), прикладывая силу F под углом a к горизонту. Массы саней одинаковы и равны т . Коэффициент трения полозьев по снегу m. Найти ускорение саней и силу натяжения Т веревки между санями, а также силу F 1 , с которой должен тянуть веревку человек для того, чтобы сани двигались равномерно.
| F a m m |
 а)
|  б)
Рис. 14.4
|
| а = ? Т = ? F 1 = ? |
Решение . Запишем второй закон Ньютона для каждых саней в проекциях на оси х и у (рис. 14.4,б ):
I у : N 1 + F sina – mg = 0, (1)
x : F cosa – T – mN 1 = ma ; (2)
II у : N 2 – mg = 0, (3)
x : T – mN 2 = ma . (4)
Из (1) находим N 1 = mg – F sina, из (3) и (4) находим Т = mmg+ + ma. Подставляя эти значения N 1 и Т в (2), получаем
.
Подставляя а в (4), получаем
T = mN 2 + ma = mmg + та =
Mmg
+ т
.
Чтобы найти F 1 , приравняем выражение для а к нулю:
Ответ
: ; 
;
.
СТОП! Решите самостоятельно: В1, В6, С3.
Задача 14.2. Два тела массами т и М связаны нитью, как показано на рис. 14.5,а . С каким ускорением движется тело М , если коэффициент трения о поверхность стола m. Каково натяжение нити Т ? Какова сила давления на ось блока?
| т М m | Решение. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси х 1 и х 2 (рис. 14.5,б ), учитывая, что : х 1: Т – mMg = Ма , (1) х 2: mg – T = ma . (2) Решая систему уравнений (1) и (2), находим: |
| а = ? Т = ? R = ? |
Если грузы не движутся, то .
Ответ
: 1) если т
< mМ
, то а
= 0, Т
= mg
, ; 2) если т
³ mМ
, то , 
, 
.
СТОП! Решите самостоятельно: В9–В11, С5.
Задача 15.3. Два тела массами т 1 и т 2 связаны нитью, перекинутой через блок (рис. 14.6). Тело т 1 находится на наклонной плоскости с углом наклона a. Коэффициент трения о плоскость m. Тело массой т 2 висит на нити. Найти ускорение тел, силу натяжения нити и силу давления блока на ось при условии, когда т 2 < т 1 . Считать tga > m.
Рис. 14.7 
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси х 1 и х 2 , учитывая, что и :
х 1: т 1 g sina – Т – mm 1 g cosa = m 1 a ,
х 2: T – m 2 g = m 2 a .
, .
Так как а >0, то
Если неравенство (1) не выполняется, то груз т 2 точно не движется вверх! Тогда возможны еще два варианта: 1) система неподвижна; 2) груз т 2 движется вниз (а груз т 1 , соответственно, вверх).
Предположим, что груз т 2 движется вниз (рис. 14.8).
Рис. 14.8 
Тогда уравнения второго закона Ньютона на оси х 1 и х 2 будут иметь вид:
х 1: Т – т 1 g sina – mm 1 g cosa = m 1 a ,
х 2: m 2 g – Т = m 2 a .
Решая эту систему уравнений, находим:
, .
Так как а >0, то
Итак, если выполняется неравенство (1), то груз т
2 едет вверх, а если выполняется неравенство (2), то – вниз. Следовательно, если не выполняется ни одно из этих условий, т.е.
,
система неподвижна.
Осталось найти силу давления на ось блока (рис. 14.9). Силу давления на ось блока R в данном случае можно найти как диагональ ромба АВСD . Так как
ÐADC = 180° – 2 ,
где b = 90°– a, то по теореме косинусов
R 2 = .
Отсюда 
.
Ответ :
1) если 
, то , 
;
2) если 
, то 
, ;
3) если , то а
= 0; Т
= т
2 g
.
Во всех случаях .
СТОП! Решите самостоятельно: В13, В15.
Задача 14.4. На тележку массой М действует горизонтальная сила F (рис. 14.10,а ). Коэффициент трения между грузом т и тележкой равен m. Определить ускорение грузов. Какой должна быть минимальная сила F 0 , чтобы груз т начал скользить по тележке?
| M , т F m |
 а)
|  б)
Рис. 14.10
|
| а 1 = ? а 2 = ? F 0 = ? | ||
Решение . Сначала заметим, что сила, приводящая груз т в движение, – это сила трения покоя , с которой тележка действует на груз. Максимально возможное значение этой силы равно mmg .
По третьему закону Ньютона груз действует на тележку с такой же по величине силой – (рис. 14.10,б ). Проскальзывание начинается в тот момент, когда уже достигла своего максимального значения , но система еще движется как одно тело массой т +М с ускорением . Тогда по второму закону Ньютона
Проецирование сил. Движение по наклонной плоскости
Задачи по динамике.
I и II закон Ньютона.
Ввод и направление осей.
Неколлинеарные силы.
Проецирование сил на оси.
Решение систем уравнений.
Самые типовые задачи по динамике
Начнем с I и II законов Ньютона.
Откроем учебник физики и прочтем. I закон Ньютона: существуют такие инерциальные системы отсчета в которых... Закроем такой учебник, я тоже не понимаю. Ладно шучу, понимаю, но объясню проще.
I закон Ньютона: если тело стоит на месте либо движется равномерно (без ускорения), сумма действующих на него сил равна нулю.
Вывод: Если тело движется с постоянной скоростью или стоит на месте векторная сумма сил будет ноль.
II закон Ньютона: если тело движется равноускоренно или равнозамедленно (с ускорением), сумма сил, действующих на него, равна произведению массы на ускорение.
Вывод: Если тело двигается с изменяющейся скоростью, то векторная сумма сил, которые как-то влияют на это тело (сила тяги, сила трения, сила сопротивления воздуха), равна массе этого тело умножить на ускорение.
При этом одно и то же тело чаще всего движется по-разному (равномерно или с ускорением) в разных осях. Рассмотрим именно такой пример.
Задача 1. Определите коэффициент трения шин автомобиля массой 600 кг, если сила тяги двигателя 4500 Н вызывает ускорение 5 м/с².
Обязательно в таких задачах делать рисунок, и показывать силы, которые дествуют на машину:
На Ось Х: движение с ускорением
На Ось Y: нет движения (здесь координата, как была ноль так и останется, машина не поднимает в горы или спускается вниз)
Те силы, направление которых совпадает с направлением осей, будут с плюсом, в противоположном случае - с минусом.
По оси X: сила тяги направлена вправо, так же как и ось X, ускорение так же направлено вправо.
Fтр = μN, где N - сила реакции опоры. На оси Y: N = mg, тогда в данной задаче Fтр = μmg.
Получаем, что:
Коэффициент трения - безразмерная величина. Следовательно, единиц измерения нет.
Ответ: 0,25
Задача 2. Груз массой 5кг, привязанный к невесомой нерастяжимой нити, поднимают вверх с ускорением 3м/с². Определите силу натяжения нити.
Сделаем рисунок, покажем силы, которые дествуют на груз
T - сила натяжения нити
На ось X: нет сил
Разберемся с направлением сил на ось Y:
Выразим T (силу натяжения) и подставим числительные значения:
Ответ: 65 Н
Самое главное не запутаться с направлением сил (по оси или против), все остальное сделает калькулятор или всеми любимый столбик.
Далеко не всегда все силы, действующие на тело, направлены вдоль осей.
Простой пример: мальчик тянет санки
Если мы так же построим оси X и Y, то сила натяжения (тяги) не будет лежать ни на одной из осей.
Чтобы спроецировать силу тяги на оси, вспомним прямоугольный треугольник.
Отношение противолежащего катета к гипотенузе - это синус.
Отношение прилежащего катета к гипотенузе - это косинус.
Сила тяги на ось Y - отрезок (вектор) BC.
Сила тяги на ось X - отрезок (вектор) AC.
Если это непонятно, посмотрите задачу №4.
Чем длинее будет верека и, соответсвенно, меньше угол α, тем проще будет тянуть санки. Идеальный вариант, когда веревка параллельна земле
, ведь сила, которая действуют на ось X- это Fнcosα. При каком угле косинус максимален? Чем больше будет этот катет, тем сильнее горизонтальная сила.
Задача 3. Брусок подвешен на двух нитях. Сила натяжения первой составляет 34 Н, второй - 21Н, θ1 = 45°, θ2 = 60°. Найдите массу бруска.
Введем оси и спроецируем силы:
Получаем два прямоугольных треугольника. Гипотенузы AB и KL - силы натяжения. LM и BC - проекции на ось X, AC и KM - на ось Y.
Ответ: 4,22 кг
Задача 4.
Брусок массой 5 кг (масса в этой задаче не нужна, но, чтобы в уравнениях все было известно, возьмем конкретное значение) соскальзывает с плоскости, которая наклонена под углом 45°, с коэффициентом трения μ = 0,1. Найдите ускорение движения бруска?
Когда же есть наклонная плоскость, оси (X и Y) лучше всего направить по направлению движения тела. Некоторые силы в данном случае (здесь это mg) не будут лежать ни на одной из осей. Эту силу нужно спроецировать, чтобы она имела такое же направление, как и взятые оси.
Всегда ΔABC подобен ΔKOM в таких задачах (по прямому углу и углу наклона плоскости).
Рассмотрим поподробнее ΔKOM:
Получим, что KO лежит на оси Y, и проекция mg на ось Y будет с косинусом. А вектор MK коллинеарен (параллелен) оси X, проекция mg на ось X будет с синусом, и вектор МК направлен против оси X (то есть будет с минусом).
Не забываем, что, если направления оси и силы не совпадают, ее нужно взять с минусом!
Из оси Y выражаем N и подставляем в уравнение оси X, находим ускорение:
Ответ: 6,36 м/с²
Как видно, массу в числителе можно вынести за скобки и сократить со знаменаталем. Тогда знать ее не обязательно, получить ответ реально и без нее.
Да-да,
в идеальных условиях (когда нет силы сопротивления воздуха и т.п.), что перо, что гиря скатятся (упадут) за одно и тоже время.
Задача 5.
Автобус съезжает с горки под уклоном 60° с ускорением 8 м/с² и с силой тяги 8 кН. Коэффициент трения шин об асфальт равен 0,4. Найдите массу автобуса.
Сделаем рисунок с силами:
Введем оси X и Y. Спроецируем mg на оси:
Запишем второй закон Ньютона на X и Y:
Ответ: 6000 кг
Задача 6.
Поезд движется по закруглению радиуса 800 м со скоростью 72 км/ч. Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего. Расстояние между рельсами 1,5 м.
Самое сложное - понять, какие силы куда действуют, и как угол влияет на них.
Вспомни, когда едешь по кругу на машине или в автобусе, куда тебя выталкивает? Для этого и нужен наклон, чтобы поезд не упал набок!
Угол α задает отношение разницы высоты рельсов к расстоянию между ними (если бы рельсы находились горизонтально)
Запишем какие силы действуют на оси:
Ускорение в данной задачи центростремительное!
Поделим одно уравнение на другое:
Тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему:
Ответ: 7,5 см
Как мы выяснили, решение подобных задач сводится к расстановке направлений сил, проецированию их на оси и к решению систем уравнений, почти сущий пустяк.
В качестве закрепления материала решите несколько похожих задач с подсказками и ответами.
